洞悉优秀中学生思维的深处-----2017年工科营挑战赛独特案例解析

        2017年1月，挑战营成功举办。作者深度参与了几个环节，深受启发。其中，几个非常“亮眼”的案例，引起作者高度兴趣。寒假期间，针对几个“亮眼”案例的材料，又做了深入的实证研究和理性分析，颇有心得。现将研究结果综述如下，供首席、领导们和工作组老师们参考。

        1、“反其道而行之”的试验构想

        高云峰老师的试验挑战赛，令学生们耳目一新。不少学生反映：“玩儿得很爽”。

       最后一个环节，是“自由面谈”。作者与芦平主持了这个环节。我们力求营造氛围，让每个学生，都能“放松身心，聊得开心”。

        我们都会问及试验挑战赛的感受。M同学描述自己的感受时，按捺不住内心的得意。他一开口，口气之大就令作者大吃一惊：“我在重物运输试验中排名第一。”作者当即反驳：“不可能，高老师决不会在现场公布成绩。” 他回答：“每个学生制作的试验装置，都要在现场演示，我的装置将重物由底部提升到顶部，速度最快，用时最短。” 作者问：“与他人的装置相比，你的装置速度快到什么程度？用时短到什么程度？”他的回答又让作者吃了一惊：“有数量级上的差别。”作者赶忙问：“你的装置设计方案有何过人之处？”他的回答让作者极度震动：“别人的方案，小电机都放在塔楼的底部，只有本人的方案，小电机被置于了塔楼的顶部。”

         高！实在是高！原来，25个优聪明学生，24个学生的思维，都没能摆脱常规，都不约而同地在同一个方向上狂奔。只有M同学的思维，打破了常规思维的惯性和束缚。他反其道而行之，获得了别人追不上的速度，达到了别人达不到的高度！

         M同学的只言片语引起作者注意：他初开始的思维，与其他同学一样，跌入了常规的轨道。因此，他的试验经历，也与其他同学一样：一次次的尝试，一次次的失败。一直到试验竞赛结束前的一个半小时，仍然不尽人意，一筹莫展。此刻，他突然产生了疑问：“为什么非要把小电机置于塔楼底部？”随着疑问的产生，他的思维瞬间发生了飞跃，于是，极具想象力的方案诞生了……。

         这一案例，应了爱因斯坦的感慨：“一个独创性的想法，可真是珍贵呀。”

         作者注意到一个细节：M同学是在“屡战屡败”之后和时间压力之下，方才做出“孤注一掷”之举。如果他初期试验大致顺利，结果又会如何？这是个有意思的问题。

         还有一个问题不能不问：25个学生，为什么都会“思维趋同”？

　     高云峰老师提供的试验材料中，模拟塔楼的，是一根矩形木条，尺寸大约50×5×300。木条底部（50×5）与基础固结。看到这样的结构，如下常规思维瞬间就会发生：

　  （1）实际工程中的电机，分量不轻，大都固定在地基上；

　  （2）木条顶部空间狭小（50×5），小电机根本放不上去；

　  （3）即使能够把小电机放到木条顶部，结构头重脚轻，很难稳定。

        于是，把小电机放在底部，就成了众人不约而同的选择。而一旦做出这样的选择，不同的试验装置之优劣之差，就只是“数量”上的差异了。

        思维惯性之大，思维趋同之易，由此可见一斑。

　    然而，M同学一旦顿开茅塞，即刻做出了反其道而行之的抉择。此时，所有的上述困难，对他而言，就不再是困难了。最终的试验装置之优劣之差，就不再是量的差别，而是质的差异了。

        M同学，是作者这次遇到的最有胆儿、最具想象力、也最具创造性潜力的学生之一。

        想象力的严重缺失，已经成为学生们最致命的软肋之一。因此，作者格外看重这个案例。难得的M同学，在未来征途上，望一路走好。

         2、“几何问题代数化”的高手

         ZH同学，是一个令人印象极为深刻、但又让人内心极度纠结的学生。

         建华老师的“大规模阅读”测试题中，有一道题：证明可数条直线不能覆盖整个平面。

         很显然，题目所展现出的图像是非常“几何的”。实际上，几乎所有的学生，都受到几何图像的启发，几乎都不约而同地从几何的角度，思考、处理这个题目。

         ZH的思维可谓独树一帜。建华老师在ZH的试卷上，大大地写上了鲜红的批语：good！建华老师的评价一语中的：“ZH把几何问题代数化了。”

        从试卷上看，ZH先把几何问题转化成为代数问题，结合反证法，给出了一个纯粹代数化证明。清晰，流畅，令人赞叹。

        对数学专家而言，几何问题代数化，是近乎小儿科的思想。但对中学生而言，能够创造性地应用数学思想，非同小可，值得称道。

        作者高度评价ZH的独创性思维的潜质。作者的看法是，如果“有意识地运用数学思想”能够成为ZH的思维模式，则其潜力之大，不可限量。

        然而，ZH思维的火花闪耀了一下，随后熄灭了。他的试卷的其它部分，空荡荡的，仅见只言片语。建华老师的判断是，ZH确实完成了16页长文的阅读，但对其中大多数内容，却不知所云。

         作者的判断是，也许题目的挑战性太强，ZH放弃了艰深的思考，似乎知难而退了。

         意志品质之薄弱，展露无遗。

         这是令人扼腕的结果。当然，也不应失望。意志品质是可以锻造的。如果他能够意识到自己的弱点，有意识地克服自己的弱点，作者仍然看好他。

         3、“一针见血”的批评

         “兴趣与基础测试”，作者提供了“圆锥曲线测试题”。

         25个学生中，7人选择了此题。其中，“请对该题予以评价”一问中，6人大声叫好，一片赞美（注：这是可以理解的）；只有1人有肯定，有否定，对否定的部分，则提出了严厉的批评。

          P同学的严厉批评引了起作者的浓厚兴趣：“出题原则有瑕疵。高中数学中，圆锥曲线部分的内容，考察的就是学生的计算能力。这也是高考考纲的要求。换句话说，对高中生而言，圆锥曲线就代表着计算。”“这道圆锥曲线题目，貌似新颖独特，但高中生却对其心有余而力不足。就连本人的回答，也大都模棱两可。”

         看到P同学愤愤不平的吐槽，作者十分高兴：他已经非常敏锐地意识到，本题目与高中考题，主题上毫无二致，都是圆锥曲线，但二者之间形似而神不似，基本理念上存在深刻的本质性差异。而这，正是作者想要追求的效果。

          P同学不知道的是，本题目瞄准的，正是中学教育教学的局限性。中学生陷入了计算的汪洋大海，他们很难体会到“用观念代替计算”的快乐。他们不知道（也许他们的老师也不知道），自然科学的诸多学科中，最终活下来且流传下去的，是概念（观念）和思想，其它的，大都会被淹没在历史的长河里，大都会成为僵死的东西，最终都会不可避免地朽掉。

          遗憾的是，我们的中学教学中，鲜活的科学思想难得一见。作者忧虑：被海量的、僵死的知识“武装”起来的孩子们，能“战斗”吗？会不会走不了多远，很多人就会倒下去？可那是他们的宿命吗？

         也许作者想多了，作者希望这只是自己在杞人忧天。

        批评归批评，在试卷的最后，P同学还是讲了一句意味深长的话：“倘若高中生们能在学校遇见此题，则必是他们的幸运。”

        特别要说明的是，作者对P同学的这部分“吐槽式答案”给出了好评。（注：P同学最后那句意味深长的话，令作者深受感动。但这份感动与给他好评无关）。

        4、用心体验到的美和深刻

        批改“圆锥曲线测试题”，CH同学引起作者的注意。

        英依拿出了学生们的试卷，顺便传达了一个信息：“殷老师，有一个学生在答题纸上写道：这是一道很美的题目。”

        作者感到惊奇。要知道，一个中学生，在考场的压力氛围下，能有此敏锐的感受力和闲情逸致，很难得，有看头。

         试卷的确没让作者失望。字里行间，透露出优雅和大气。但最令人称道的，乃是思维的宽厚和深刻。

         还是从费马的思想说起。费马提出坐标观念，实现了“综合几何代数化”的伟大飞跃。在利用坐标研究圆锥曲线时，费马提出了极其重要的问题：给定两个二次曲线的一般表达式，怎样判断它们描述的是同一类（或同一条）圆锥曲线？

         常规的处理，是引入坐标变换，通过坐标轴的平移和旋转，将二次曲线的方程，表达成标准型。一旦化成标准型，则上述问题的答案自然就出来了。显然，这样的答案，是“计算”出来的。

         然而，费马的思想要深刻得多。他“用观念代替计算”，导出了一般性的判别准则，借助判别准则，不仅完成了圆锥曲线的分类，而且将思想的发展引向了不变量。也许，这是人类历史上最早的不变量思想。

          有趣的是，CH同学的分析，与费马的思想相当接近。

          费马是大宗师。作者并没有期待，一个中学生的思维能够达到费马的高度。的确，CH同学的试卷还透露着稚气，但字里行间的宗匠气象，已经像模像样，不容小觑。可以肯定地所说，25位学生中，CH同学思维的深刻性，超出作者的预期较多。

          作者不能排除如下可能性：CH同学阅读量很大，涉猎过费马的作品，了解过费马的思想。

          还有一种可能性：CH同学看过作者演讲的网络视频《力学的美和妙》。他悟性颇佳，从视频受到启发，顺藤摸瓜，知道了费马的思想。

          需要说明的是，不论上述猜测正确与否，都不会降低作者对CH同学的高度评价。

          5、罕见的情怀和热爱

         再看建华老师的“大规模阅读”测试题的长文。长文涉及Cantor的无穷集合论以及连续统假设。这是一份颇具挑战度的长篇阅读材料。与阅读材料配套，建华老师设计了9个问题（作者提供了其中的两个问题）。学生阅读之后，要求回答问题。按照建华老师的设想，通过学生的回答，我们从中应该能够检测出如下信息：阅读了什么？理解了什么？ 体会了什么？发展了什么？思维在那里发生了飞跃？

         从阅读材料的选材，到问题的设置，可谓独具匠心，立意高远。自由面谈时，学生们自己都表示：从来没有想象到，会参加如此独特的测试。的确，在这样的测试之下，被测试者复杂的内心世界，一点一滴地被“揭露”出来了。

          作者研究了学生的试卷。从中看出，建华老师的设想，不折不扣地得以了实现。

          试卷中包含的信息是丰富的。但本研究报告的重点，是“闪亮”的学生。因此，此处只选择一个最具吸引力的案例，即QIU同学。

           25名学生中，QIU同学受到建华老师最高的评价。

          作者对QIU同学感兴趣，不仅是因为他得分最高，而且是因为他敏锐的洞察力，细腻的感受力和与众不同的内在气质。

          长文从Cantor的基本思想讲起。Cantor的思维有鲜明的特点：出发点极其简单，简单到有点像“小孩儿过家家”。但Cantor有一项独步天下的才能：他能从“小孩儿过家家”中抽象出奇妙的概念，伴之以玩儿似的论证技巧，游戏般地，就演绎出了神奇的思想。相对于出发点近乎“幼稚”的简单性，其思想之深刻性和颠覆性，可谓无与伦比，举世无双。也许有些夸张，但在作者看来，确实很少有人的思想，能像Cantor的思想那样，貌似简单，但却能颠覆如此之多的常规。

          长文延续了Cantor的传奇。其中的每一个定理，都看似简单，但都妙不可言。读者从中能感受到定理的创造者们那逼人的才气。作者非常期待，聪明的中学生们能与Cantor和创造者们多少发生点感应。于是杜撰了如下试题，并被建华老师选中：

          “本文中的定理、命题及其证明，哪一个让你感到赏析悦目？那一个让你感到惊心动魄？为什么你会有这样的感觉？或者，为什么你没有这样的感觉？”

          以下是QIU同学的回答，作者在其中穿插了点评。

           QIU：我以前就了解Cantor的定理，即“与有相同的基数”，以及“的基数大于的基数”。这定理标志着，人类第一次敢于直面无限这个混乱与超乎直觉的事物。Cantor所运用的手段十分自然。他仅仅借助常识和逻辑，便为人类开启了无限的世界。

           作者点评：25个学生中，只有几个学生有类似的认知，但都没有达到QIU同学的高度。

          QIU：回想当年的历史，我感到惋惜和兴奋。我未曾研究过公理集合论，仅仅掌握了集合论的初等知识。今天的阅读，我对“序数”产生了从未体会到的感受。我也知道如下定理：可数个可数集的并仍然是可数集。但明命题6用“序数”这个高等工具对此定理进行了推广，解决了一个我曾经想推广但又力有不足的问题。

          作者点评：QIU同学曾想推广经典集合论的一个定理，但功败垂成。25个学生中，他应该是唯一有此意图者。当然，他意识到力有不足，也意识到“序数”概念在推广中的关键作用。

          但有一点他没有完全意识到：力有不足，并非本质性的弱点。序数概念的突破，才是后继突破的绝对前提；概念的创造，才是创造的最高阶段。尽管如此，比其他学生，他已经更有深度地进入了角色！

          QIU：刚开始阅读时，我并没有看到“序数”工具的强大。毕竟，它只是对集合中的元素定义了大小关系。可结合选择公理后，产生了良序定理，由此便一发不可收拾。在困惑了我许久的问题上，“序数”为我提供了答案。同时，“序数”也是集合公理产下的、注定要改变集合定义的孩子。之后看出，它蕴含着非集合的什么东西，和罗素悖论有一定的相似，这让我不解和沉迷。我也曾接触过高等数学、数学分析和高等代数。可我认为，它们只是极棒的工具，却难以体味颠覆的快感。仅仅阅读了这篇科普性文章，便有如此感受，我似乎能够理解当年歌德尔研究集合论的原因了。

           作者点评：敏锐的洞察力，细腻感受力，纵横驰骋，信马由缰，超强的联想力，显露无遗。

         QIU：长文最后以Erdos的定理结束，更让我回味无穷。我第一次听说Erdos，是在网上看到他的名言：“数学家就是把咖啡变成定理的机器。”在好奇心的驱使下，我对他做了更多的研究，这才惊呼：世界上竟有对数学有如此浪漫感情之人！一年前，陶哲轩证明了Erdos差值定理的加强板。我看到了陶哲轩与Erdos早期的合影。合影中，9岁的陶哲轩与已经是大师的Erdos正在讨论数学。从合影中，我收获了感动。今天的长文中，我阅读并初步理解了Erdos的一个非初等证明。虽然其中有些定理（例如超限递归法）我还不能证明出来，但这并不影响我感受他满溢而出的天才和对数学的深刻理解。阅读中我时常感受到震惊（特别是取S集合的时候），证实了我与大数学家之间尚存的差距。希望总有一天我能追上来吧。

          作者点评：有此情怀，爱，好奇心和雄心，何愁大事不成？当然，QIU同学也应知道，要追上Erdos，谈何容易！Erdos被誉为“数字情种”，他终生未婚，数学就是他永恒的情人。天可怜见，要活出Erdos的境界，实在是难哪。

           建华老师的压轴问题如下：

          从基数和序数概念的引入，你从中获得怎样的感想？根据你的评价体系或者经验或者已有的知识，点评Cantor能提出它们的根源是什么？你认为自己要接受怎样的培养，也能迸发出这类重大的思想？

           从提问可以看出，建华老师的期待之情溢于言表。这个提问，考察了学生太多的东西。

           QIU：如上所述，基数和序数的提出是十分直观的。与正整数一样，集合只是日常生活中所见与所得的抽象与提升，但却从本质上引出了人们对无穷，对逻辑，对真理的看法的改变。我们可以说，Cantor“发明”了整整一个数学体系。因为在他之前没有任何人能够深入到那种地步，以致于集合论的根基一直埋没在落叶中，人们只能在其上小心翼翼地前行。大胆，以及长年的思考造就了Cantor的拨云见日。在今天，虽然许多高中生也了解“与有相同的基数”以及“的基数大于的基数”两个定理的证明，但值得铭记的伟人与往事并不会随着时光的流逝而褪色。……。

           作者点评：能认识到这个水准的，有好几位同学。QIU同学的不同之处在于，他在字里行间注入了强烈的个人感情。至于“怎样培养才能诞生Cantor那样重大的思想？”QIU同学的回应乏善可称。25位学生中，没有一个学生对此问题的回应令人心动。当然，这不能怪学生。按照目前的中学教学模式，诞生Cantor那样巨人的概率，即使不是零，也不会差多少。

           还是搁笔吧。胡言乱语之处，看看就好，不必当真。